¿Qué es el límite de una función?
El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo y juega un papel crucial en la comprensión del comportamiento de las funciones en puntos específicos. Podemos pensar en el límite como el valor hacia el cual se acerca una función a medida que la variable independiente se acerca a un determinado valor. El límite de una función se representa matemáticamente mediante la siguiente notación:
lim (x → a) f(x)
Donde «lim» representa el límite, «x» es la variable independiente, «a» es el valor hacia el cual se acerca «x» y «f(x)» es la función en cuestión. Al calcular el límite, evaluamos la función en puntos cercanos a «a» para determinar el comportamiento de la función en ese punto específico.
La continuidad de una función
La continuidad de una función está estrechamente relacionada con el límite de la función. Una función se considera continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe y es igual al valor de la función en ese punto. En otras palabras, no hay saltos, discontinuidades o agujeros en la función.
Existen tres tipos de continuidad para una función:
Continuidad punto a punto
Una función es continua punto a punto si es continua en cada punto de su dominio. Esto significa que el límite de la función existe y es igual al valor de la función en cada punto. No hay saltos ni discontinuidades en la función.
Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto dentro del intervalo. Esto implica que la función es continua en todo el intervalo, no solo en puntos individuales.
Continuidad en un conjunto
Una función es continua en un conjunto si es continua en cada punto del conjunto. Esto significa que la función es continua en todos los puntos del conjunto, incluidos los puntos interiores y los puntos de frontera.
Ahora que hemos establecido los conceptos básicos del límite y la continuidad de una función, profundicemos en cómo calcular límites y determinar la continuidad en diferentes casos.