¿Alguna vez te has preguntado cómo se expresa una función fraccionaria de manera sencilla y práctica? En esta guía completa, te explicaremos paso a paso cómo hacerlo. Ya sea que estés estudiando matemáticas o simplemente quieras comprender mejor este concepto, este artículo te ayudará a dominar las funciones fraccionarias de una vez por todas.
¿Qué es una función fraccionaria?
Una función fraccionaria es una expresión matemática que involucra una fracción, es decir, un número dividido por otro. En lugar de trabajar con números enteros, utilizamos fracciones para representar cantidades que no son exactas o que están entre dos valores enteros. Estas funciones son especialmente útiles cuando queremos modelar fenómenos continuos o analizar el comportamiento de variables en un rango específico.
Cómo expresar una función fraccionaria
Para expresar una función fraccionaria de manera sencilla y práctica, debemos seguir algunos pasos clave:
Paso 1: Identificar la función
Lo primero que debemos hacer es identificar la función fraccionaria que queremos expresar. Esto implica identificar la variable independiente y la variable dependiente, así como cualquier otra constante o parámetro involucrado en la función.
Paso 2: Simplificar la fracción
Una vez identificada la función fraccionaria, es útil simplificar la fracción tanto como sea posible. Esto implica reducir ambos términos de la fracción al mínimo común divisor y eliminar cualquier factor común.
Paso 3: Encontrar el dominio de la función
El siguiente paso es determinar el dominio de la función, es decir, el conjunto de valores de la variable independiente para los cuales la función está definida. Esto implica identificar cualquier valor o conjunto de valores que hagan que el denominador de la fracción sea igual a cero, ya que eso resultaría en una división por cero, lo cual no está permitido.
Paso 4: Graficar la función
Una vez que hemos simplificado la fracción y determinado el dominio de la función, podemos graficarla para tener una representación visual de su comportamiento. Esto nos permitirá identificar cualquier patrón o tendencia en la función, así como los puntos de interceptación con los ejes x e y.
Paso 5: Interpretar la función
Finalmente, es importante interpretar la función fraccionaria en el contexto de la situación o problema que estamos estudiando. Esto implica analizar el comportamiento de la función en relación con las variables involucradas y extraer conclusiones relevantes.
Ejemplos de funciones fraccionarias
Veamos algunos ejemplos concretos de cómo se expresan las funciones fraccionarias:
Ejemplo 1: Función lineal fraccionaria
Consideremos la función fraccionaria f(x) = (2x – 1)/(x + 3). Para expresar esta función, podemos seguir los pasos mencionados anteriormente:
Paso 1: Identificamos la variable independiente como x y la variable dependiente como f(x). No hay ninguna constante o parámetro adicional en esta función.
Paso 2: Simplificamos la fracción (2x – 1)/(x + 3) al máximo común divisor. En este caso, la fracción no se puede simplificar aún más.
Paso 3: Determinamos el dominio de la función. En este caso, el denominador de la fracción (x + 3) no puede ser igual a cero, ya que resultaría en una división por cero. Por lo tanto, el dominio de la función es todos los valores de x excepto x = -3.
Paso 4: Graficamos la función. Para hacerlo, podemos utilizar una tabla de valores o software de gráficos como Excel o Geogebra. Al graficar la función, notaremos que se trata de una recta que atraviesa el punto (-1/2, 2) y tiene una asíntota vertical en x = -3.
Paso 5: Interpretamos la función. En este caso, la función representa una relación lineal entre x y f(x), donde el numerador (2x – 1) representa una variación lineal y el denominador (x + 3) controla el ritmo de crecimiento o decrecimiento de la función.
Ejemplo 2: Función cuadrática fraccionaria
Consideremos la función fraccionaria g(x) = (x^2 – 4)/(x – 2). Para expresar esta función, seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior:
Paso 1: Identificamos la variable independiente como x y la variable dependiente como g(x). No hay ninguna constante o parámetro adicional en esta función.
Paso 2: Simplificamos la fracción (x^2 – 4)/(x – 2). En este caso, la fracción se puede factorizar como ((x – 2)(x + 2))/(x – 2). Simplificamos las expresiones (x – 2) y eliminamos la factor común en el numerador y el denominador.
Paso 3: Determinamos el dominio de la función. En este caso, el denominador de la fracción (x – 2) no puede ser igual a cero, ya que resultaría en una división por cero. Por lo tanto, el dominio de la función es todos los valores de x excepto x = 2.
Paso 4: Graficamos la función. Al graficar la función, notaremos que tiene una asíntota vertical en x = 2 y una parábola con vértice en (0, -4).
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