¿Qué es un número complejo?
Un número complejo es un número que se forma con una parte real y una parte imaginaria. Se representa en la forma a + bi, donde “a” es la parte real y “b” es la parte imaginaria. Estos números son de gran importancia en matemáticas y física, ya que permiten representar fenómenos que involucran cantidades tanto reales como imaginarias. Una de las formas más comunes de representar un número complejo es en coordenadas rectangulares, pero en esta guía nos centraremos en cómo convertir estos números a su forma polar.
¿Qué es la forma polar de un número complejo?
La forma polar de un número complejo es una representación que utiliza un número real llamado módulo y un ángulo en radianes llamado argumento. Se expresa en la forma r(cos θ + i sin θ), donde “r” es el módulo y “θ” es el argumento. Esta forma polar es especialmente útil para realizar cálculos y operaciones con números complejos, ya que simplifica la multiplicación, la división y las potencias. Además, la forma polar nos da información sobre la magnitud y la dirección del número complejo en un plano.
1. Conversión de coordenadas rectangulares a forma polar
Para convertir una coordenada rectangular (a + bi) a su forma polar (r(cos θ + i sin θ)), seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Calcula el módulo “r” del número complejo utilizando la fórmula r = √(a² + b²). Esto representa la distancia del origen al punto en el plano complejo.
Paso 2: Calcula el argumento “θ” del número complejo utilizando la fórmula tan θ = b / a. Luego, utiliza la función trigonométrica adecuada para determinar el ángulo en radianes.
Paso 3: Escribe el número complejo en su forma polar r(cos θ + i sin θ), utilizando el módulo “r” y el argumento “θ” calculados en los pasos anteriores.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el número complejo 3 + 4i. Siguiendo los pasos anteriores:
Paso 1: Calculamos el módulo “r” utilizando la fórmula r = √(3² + 4²) = 5.
Paso 2: Calculamos el argumento “θ” utilizando la fórmula tan θ = 4 / 3. Encontramos que θ ≈ 53.13° o aproximadamente 0.93 radianes.
Paso 3: Escribimos el número complejo en su forma polar: 5(cos 0.93 + i sin 0.93).
2. Conversión de forma polar a coordenadas rectangulares
La conversión de la forma polar (r(cos θ + i sin θ)) a coordenadas rectangulares (a + bi) también se realiza en tres pasos:
Paso 1: Calcula la parte real “a” del número complejo utilizando la fórmula a = r cos θ. Esto representa la proyección del número complejo sobre el eje real.
Paso 2: Calcula la parte imaginaria “b” del número complejo utilizando la fórmula b = r sin θ. Esto representa la proyección del número complejo sobre el eje imaginario.
Paso 3: Escribe el número complejo en su forma rectangular (a + bi), utilizando la parte real “a” y la parte imaginaria “b” calculadas en los pasos anteriores.
Por ejemplo, si tenemos el número complejo 4(cos 1.57 + i sin 1.57), seguimos los pasos anteriores:
Paso 1: Calculamos la parte real “a” utilizando la fórmula a = 4 cos 1.57 ≈ 0.
Paso 2: Calculamos la parte imaginaria “b” utilizando la fórmula b = 4 sin 1.57 ≈ 4.
Paso 3: Escribimos el número complejo en su forma rectangular: 0 + 4i.
3. Operaciones con números complejos en forma polar
Una de las ventajas de utilizar la forma polar de los números complejos es que permite realizar operaciones de multiplicación, división y potenciación de manera más sencilla. Veamos cómo se realizan estas operaciones paso a paso:
Multiplicación: Para multiplicar dos números complejos en forma polar, simplemente multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos.
División: Para dividir dos números complejos en forma polar, simplemente dividimos sus módulos y restamos sus argumentos.
Potenciación: Para elevar un número complejo en forma polar a una potencia “n”, elevamos su módulo a la potencia “n” y multiplicamos su argumento por “n”.
Por ejemplo, si queremos multiplicar los números complejos 2(cos π/4 + i sin π/4) y 3(cos π/2 + i sin π/2):
Paso 1: Multiplicamos los módulos: 2 * 3 = 6.
Paso 2: Sumamos los argumentos: π/4 + π/2 = 3π/4.
Paso 3: Escribimos el resultado en forma polar: 6(cos 3π/4 + i sin 3π/4).
4. Ejemplos de cálculo de la forma polar de número complejo
Vamos a realizar algunos ejemplos de cálculo de la forma polar de un número complejo:
Ejemplo 1: Consideremos el número complejo -2 + 2i. Calculamos su forma polar de la siguiente manera:
Paso 1: Calculamos el módulo “r” utilizando la fórmula r = √((-2)² + 2²) ≈ 2.828.
Paso 2: Calculamos el argumento “θ” utilizando la fórmula tan θ = 2 / (-2). Encontramos que θ ≈ -45° o aproximadamente -0.785 radianes.
Paso 3: Escribimos el número complejo en su forma polar: 2.828(cos -0.785 + i sin -0.785).
Ejemplo 2: Tomemos el número complejo 1 – 3i. Realizamos los siguientes cálculos para obtener su forma polar:
Paso 1: Calculamos el módulo “r” utilizando la fórmula r = √(1² + (-3)²) ≈ 3.162.
Paso 2: Calculamos el argumento “θ” utilizando la fórmula tan θ = (-3) / 1. Encontramos que θ ≈ -71.57° o aproximadamente -1.25 radianes.
Paso 3: Escribimos el número complejo en su forma polar: 3.162(cos -1.25 + i sin -1.25).
Recuerda que la forma polar de un número complejo nos proporciona información sobre su magnitud y dirección en el plano complejo. Utilizar esta forma puede simplificar los cálculos y las operaciones con números complejos, lo que resulta especialmente útil en campos como la física y la ingeniería.