¿Qué es una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado. Esto significa que la variable desconocida, en este caso, “x”, se eleva al cuadrado y se le añaden términos lineales y constantes. La ecuación cuadrática puede tener uno, dos o incluso ninguna solución real.
Descomposición de la ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática x^2 + 2x + 15 = 0 es un ejemplo de una ecuación cuadrática estándar. Para resolverla, es necesario descomponer la ecuación en factores que puedan ser fácilmente resueltos.
Desglose del coeficiente cuadrático
En esta ecuación, el coeficiente cuadrático es 1. Esto significa que no hay un número multiplicando al término “x^2”. Si el coeficiente cuadrático es diferente de 1, se debe dividir toda la ecuación por ese coeficiente para simplificarla.
Desglose del coeficiente lineal
El coeficiente lineal es 2 en esta ecuación. Se le denomina “coeficiente lineal” porque multiplica al término lineal “x”. En este caso, “2x” es el término lineal. Para descomponer el coeficiente lineal, hay que encontrar dos números cuya suma sea igual a 2 y cuyo producto sea igual al término constante, que es 15.
Después de realizar algunas pruebas, podemos ver que los números 3 y 5 cumplen con esta condición. Entonces, podemos reescribir la ecuación como x^2 + 3x + 5x + 15 = 0.
Factorización de la ecuación cuadrática
Una vez descompuesta la ecuación, podemos factorizarla agrupando términos comunes en paréntesis. En este caso, podemos agrupar el primer y segundo término, así como el tercer y cuarto término:
(x^2 + 3x) + (5x + 15) = 0
Ahora, podemos factorizar cada grupo por separado:
x(x + 3) + 5(x + 3) = 0
Tenemos un término común “x + 3”, por lo que podemos simplificar aún más la ecuación:
(x + 3)(x + 5) = 0
Entonces, tenemos dos factores: (x + 3) y (x + 5). Para que el producto sea igual a cero, al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Esto nos lleva a dos posibles soluciones:
x + 3 = 0 ó x + 5 = 0
Resolviendo cada ecuación, obtenemos:
x = -3 ó x = -5
Verificación y graficación de la solución
Para verificar nuestras soluciones, podemos reemplazar “x” por los valores encontrados en la ecuación original:
Para x = -3:
(-3)^2 + 2(-3) + 15 = 0
9 – 6 + 15 = 0
18 – 6 = 0
12 = 0
El resultado no es igual a cero, por lo tanto, x = -3 no es una solución válida.
Para x = -5:
(-5)^2 + 2(-5) + 15 = 0
25 – 10 + 15 = 0
40 – 10 = 0
30 = 0
Nuevamente, el resultado no es igual a cero, por lo que x = -5 tampoco es una solución válida.
Esto significa que la ecuación cuadrática x^2 + 2x + 15 = 0 no tiene soluciones reales.
¿Qué sucede si el coeficiente cuadrático es cero?
Si el coeficiente cuadrático es cero, la ecuación deja de ser cuadrática y se convierte en una ecuación lineal. Por lo tanto, la solución sería la opuesta del cociente del término constante y el término lineal.
¿Cuál es la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática?
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática de la forma ax^2 + bx + c = 0 es: x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a). Esta fórmula se conoce como la fórmula cuadrática.
¿Existen otras formas de resolver ecuaciones cuadráticas?
Sí, además de la factorización y la fórmula cuadrática, también se puede utilizar el método de completar el cuadrado o incluso, en algunos casos, utilizar métodos numéricos como el método gráfico o el método de aproximación sucesiva.
¡Espero que este artículo te haya ayudado a entender mejor la ecuación cuadrática x^2 + 2x + 15 = 0! Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en escribirnos.