Bienvenidos a esta guía completa sobre cómo calcular el límite de la función (cosx-1)/x cuando x tiende a cero. Este límite es crucial en el cálculo diferencial y tiene una gran importancia en diversas ramas de las matemáticas.
¿Qué es un límite?
Un límite es el valor hacia el cual se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un punto específico. En este caso en particular, estamos interesados en calcular el límite de (cosx-1)/x cuando x se acerca a cero.
Paso 1: Simplificar la expresión
Para comenzar, vamos a simplificar la expresión (cosx-1)/x utilizando identidades trigonométricas y álgebra básica. Recordemos que la identidad trigonométrica fundamental es:
cosx = 1 – 2sen^2(x/2)
Sustituyendo esta identidad en la expresión inicial, tenemos:
(cosx-1)/x = [(1 – 2sen^2(x/2)) – 1]/x = (-2sen^2(x/2))/x
Paso 2: Aplicar el teorema del límite
El siguiente paso es aplicar el teorema del límite para calcular el límite de (-2sen^2(x/2))/x cuando x tiende a cero. El teorema del límite nos dice que si una función f(x) puede ser expresada como el producto de dos funciones g(x) y h(x), y lim g(x) = L1 y lim h(x) = L2, entonces lim f(x) = L1 * L2.
En nuestro caso, tenemos que (-2sen^2(x/2))/x puede ser expresado como el producto de dos funciones: g(x) = -2sen^2(x/2) y h(x) = 1/x.
Aplicando el teorema del límite, tenemos:
lim ((-2sen^2(x/2))/x) = lim (-2sen^2(x/2)) * lim (1/x)
Ahora, debemos calcular los límites individuales.
Paso 3: Calcular los límites individuales
Comencemos con el límite de (-2sen^2(x/2)). Para calcular este límite, podemos utilizar la identidad trigonométrica:
sen^2(x/2) = (1 – cosx)/2
Sustituyendo esta identidad en la expresión, tenemos:
lim (-2sen^2(x/2)) = lim (-2(1 – cosx)/2) = lim -2(1 – cosx)
Aplicando el teorema del límite, tenemos:
lim -2(1 – cosx) = -2 * lim (1 – cosx) = -2 * (1 – lim cosx)
Ahora, debemos calcular el límite de cosx. Sabemos que el límite de cosx cuando x tiende a cero es 1:
lim cosx = 1
Sustituyendo este resultado de vuelta en la expresión, tenemos:
-2 * (1 – lim cosx) = -2 * (1 – 1) = -2 * (0) = 0
Por lo tanto, el límite de (-2sen^2(x/2))/x cuando x tiende a cero es 0.
En conclusión, hemos calculado el límite de la función (cosx-1)/x cuando x tiende a cero y hemos obtenido un resultado de 0. Este cálculo es de gran importancia en el cálculo diferencial y puede ser utilizado en diversas aplicaciones matemáticas. Espero que esta guía completa haya sido útil y que ahora tengas una comprensión clara de cómo calcular este límite de manera sencilla.
1. ¿Por qué es importante calcular el límite de (cosx-1)/x cuando x tiende a cero?
Calcular este límite es fundamental en el cálculo diferencial y tiene aplicaciones en varias áreas de las matemáticas, como la trigonometría y el análisis matemático.
2. ¿Qué otros límites relacionados son importantes de calcular?
Existen muchos otros límites importantes en el cálculo, como el límite de senx/x cuando x tiende a cero y el límite de tanx/x cuando x tiende a cero. Estos límites son utilizados en la derivación de funciones trigonométricas.
3. ¿Existen otros métodos para calcular este límite?
Sí, existen otros métodos más avanzados para calcular este límite, como el uso de series de Taylor o la regla de L’Hôpital. Sin embargo, en este artículo nos hemos enfocado en una forma simple y accesible de calcular el límite.