¿Qué es una derivada?
Cuando hablamos de derivadas, nos referimos a uno de los pilares fundamentales del cálculo diferencial. En pocas palabras, una derivada nos permite medir cómo cambia una función en un punto específico. Es como analizar la velocidad exacta de un objeto en un instante determinado.
Ahora bien, para entender por qué la derivada de un polinomio también es un polinomio, primero debemos tener claros algunos conceptos básicos sobre los polinomios y cómo se obtienen sus derivadas.
Los polinomios y sus características
Un polinomio es una expresión matemática compuesta por una serie de términos algebraicos que involucran variables y coeficientes. Estos términos se suman o se restan entre sí, pero no se multiplican ni se dividen.
Por ejemplo, el polinomio P(x) = 3x^2 + 2x – 1 consta de tres términos: 3x^2, 2x y -1. Aquí, x es la variable, y los coeficientes son 3, 2 y -1.
Los polinomios presentan ciertas características que nos permiten identificarlos y trabajar con ellos de manera más sencilla. Entre ellas, tenemos:
1. Orden del polinomio: Es el grado más alto de las potencias de la variable en el polinomio. En el ejemplo anterior, el orden del polinomio P(x) es 2, ya que la potencia más alta de la variable x es 2.
2. Coeficientes: Son los números que multiplican a cada término del polinomio. En el ejemplo, los coeficientes son 3, 2 y -1.
3. Términos: Son los componentes individuales de un polinomio. En el ejemplo, los términos son 3x^2, 2x y -1.
Aunque los polinomios pueden tener muchas más características y propiedades, estas son las más relevantes para comprender la derivada de un polinomio.
¿Cómo se calcula la derivada de un polinomio?
La derivada de un polinomio se obtiene mediante un proceso llamado diferenciación. En pocas palabras, la diferenciación es una técnica que nos permite encontrar la derivada de una función.
En el caso de los polinomios, podemos derivar término por término mediante las reglas básicas de la derivada, las cuales involucran potencias y coeficientes. Veamos un ejemplo para entender mejor:
Dado el polinomio P(x) = 3x^2 + 2x – 1, vamos a encontrar su derivada.
Para derivar cada término, simplemente aplicamos las reglas de derivación a cada potencia de x. Por ejemplo, derivar 3x^2 nos dará 6x, ya que la potencia se reduce en uno y se multiplica por el coeficiente, en este caso 3.
De manera similar, al derivar 2x obtenemos 2, ya que la potencia de x se reduce a 0 y se elimina, quedando únicamente el coeficiente.
Finalmente, al derivar -1 obtenemos 0, ya que una constante tiene derivada 0.
Sumando todos los términos derivados, obtenemos la derivada del polinomio P(x):
P'(x) = 6x + 2
Como podemos observar, la derivada del polinomio original P(x) es otro polinomio, P'(x). En este caso, el polinomio derivado es de grado 1, ya que la potencia más alta de x es 1.
Este ejemplo ilustra cómo obtener la derivada de un polinomio paso a paso, aplicando las reglas de derivación correspondientes a cada término.